2024年考研高等数学考前冲刺知识点


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2024年考研高等数学考前冲刺知识点

2023年考研高等数学考前冲刺知识点

  幂级数的常考题型:

2024年考研高等数学考前冲刺知识点

  现对幂级数的常考题型做如下整理:展开求和主要包括三种形式:

2024年考研高等数学考前冲刺知识点

  1、系数为有理函数;

  2、系数中含有阶乘;

  3、抽象型级数。

  其中出题频次相对较高的是第一种。接下来我们就以往年考研试题为例,学习幂级数的基本解题思想:

  浅析利用极坐标计算二重积分:

  极值点、拐点求解技巧:

  通过对历年考研考试题目的研究,基本题目均是已知导函数图形,判定函数的极值点与拐点个数。结合极值点的求解过程,我们可以总结出图形题的解题思路:

  (1)找驻点及不可导点。即y’图像中与x轴的交点,以及图像中的无定义点。

  (2)再用第一充分判定。即判定某点左右两侧y’的正负,若异号,则为极值点。

  同理,若求解拐点,

  (1)找y’’=0的点及二阶不可导点。即y’图像中切线水平的点,以及图像中的无定义点与不可导点。

  (2)再用第一充分判定。即判定某点左右两侧y’的单调性,若相反,则为拐点。

  高数考点变化及重难点分析:

  一、极限的概念、性质及计算

  重点:(1)函数极限的计算:七种未定式的计算,四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、对数恒等式、单侧极限等方法的使用;(2)数列极限的计算:直接计算、夹逼准则、定积分定义、单调有界收敛准则。

  难点:(1)数列极限中利用夹逼准则和定积分定义求和式极限;利用单调有界收敛准则证明数列极限存在;(2)极限性质和收敛性的讨论。

  二、极限的应用

  重点:(1)连续的定义和判断间断点; (2)求曲线的水平、铅直和斜渐近线;(3)导数的定义与微分(4)讨论多元函数的极限、连续性、偏导性和可微性及其相互关系。

  难点:分段函数和抽象函数可导性的讨论;多元函数可微性的判断。

  三、导数的计算

  重点:(1)一元函数导数的计算:初等函数(含幂指函数)、变限积分、隐函数、参数方程(数一、数二)、抽象函数、高阶导数等导数的计算;(2)多元函数导数的计算:复合函数和隐函数求偏导数,全微分的计算。

  难点:变限积分求导、高阶导数计算、多元函数中抽象复合函数的偏导数计算。

  四、导数的应用

  重点:(1)一元函数微分学的应用:1)几何应用:平面曲线的切线和法线;曲率和曲率半径的计算,理解曲率圆(数一数二);2)物理应用(数一和数二):变化率;3)经济学应用(数三):边际和弹性的概念、计算和经济学意义;4)单调性和凹凸性:利用导数判断函数的单调性和凹凸性;理解凹凸性的几何意义; 5)极值和拐点:利用导数判断函数的极值点和拐点,掌握判断的必要条件和充分条件;理解极值点和拐点的关系;6)最值:利用导数求解函数的最大值和最小值,最值在相关实际问题中应用。

  (2)多元函数微分学的应用:1)多元函数极值:利用必要条件和充分条件求二元函数的极值;用拉格朗日乘数法求条件极值;求简单多元函数的最大值和最小值;2)空间解析几何中的应用(数一):空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线;3)方向导数和梯度(数一):计算方向导数和梯度,理解二者之间的关系。

  难点: 导数的物理应用;凹凸性的几何意义;条件极值的计算。

  五、积分的计算

  重点:(1)不定积分:掌握两类换元法和分部积分法;会求有理函数、三角有理式、指数有理式、根式等不定积分;(2)定积分:理解定积分的定义,掌握比较定理和积分中值定理;利用牛顿莱布尼茨公式计算各种不同形式的定积分:初等函数、分段函数、对称区间、抽象函数、递推公式等;(3)二重积分: 利用直角坐标和极坐标计算二重积分。

  难点:反常积分的计算和收敛性的判别;二重积分中值定理的使用。

  六、积分的应用

  重点:几何应用 平面图形的面积;旋转体的体积;平面曲线的弧长(数一数二);旋转曲面的面积(数一数二)。

  难点:(1)微元法的基本思想和部分公式的理解和记忆;(2)物理应用(数一数二):计算质量、质心、形心、 变力做工、静压力、转动惯量等。

  七、常微分方程

  重点:(1)解方程:可分离变量的微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程、二阶(高阶)常系数线性微分方程、可降阶的微分方程(数一数二);(2)理解线性微分方程解的性质及解的结构;(3)微分方程的应用:利用微分学和积分学知识列出微分方程并求解。

  难点:(1)求解伯努利方程和欧拉方程(数一);(2)利用物理知识列方程(数一数二)。

  八、不等式、中值定理与零点问题(证明推理部分)

  重点:(1)不等式证明:利用单调性凹凸性证明不等式;(2)中值定理:利用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、柯西中值定理证明相关结论;(3)零点问题:利用单调性、零点定理和罗尔定理等判断函数零点问题。

  难点:定理的理解及其使用范围、辅助函数的构造,泰勒中值定理的使用。

  九、无穷级数(数一数三)

  重点:(1)常数项级数:利用级数收敛的性质和比较判别法、根值比值判别法判断正项级数的敛散性,用莱布尼茨判别法判断交错级数的敛散性;(2)幂级数:计算级数的收敛半径和收敛域;求幂级数的和函数;将函数展开成幂级数。

  难点:抽象级数敛散性的证明;抽象级数和函数的求解;傅里叶级数的计算和狄利克雷收敛定理。

  十、多元函数积分学(数一)

  重点:(1)利用直角坐标和求坐标计算三重积分;(2)会利用直接带入法(化为定积分)计算第一类曲线积分;(3)会利用直接代入法(化为定积分)直接计算第二类曲线积分,利用格力公式计算第二类曲线积分;利用斯托克斯公式计算三维的第二类曲线积分;掌握曲线积分与路径无关的条件,求二元函数全微分的原函数(4)会利用直接带入法(化为二重积分)计算第一类曲面积分;(5)会利用直接投影法、转换投影法、高斯公式计算第二类曲面积分。

  难点:格林公式的使用;积分与路径无关的理解及相关计算;转换投影法和高斯公式的使用;散度与旋度的计算及公式的记忆。

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